一个不等式证明题

证明：f(x)=lnx在[a,b]连续，且在(a,b)可导，
由拉格朗日中值定理可知，存在一点ξ(a<ξ<b)，使得
f'(ξ)=1/ξ=(arctanb-arctana)/(b-a)
又根据均值不等式
(a^2+b^2)/2a=(a+b^2/a)/2≥√(a*b^2/a)=b
∴ξ<b≤(a^2+b^2)/2a
∴1/ξ=(arctanb-arctana)/(b-a)>2a/(a^2+b^2)
命题得证