已知线性方程Ax=b,其中b属于A的列空间,且A的列向量线性相关,那么该方程解的个数为多少?

来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/05/23 14:57:01
求教详细过程,万分感谢

应该是无穷多个解。

首先,“b属于A的列空间”,就说明了这个非齐次方程组肯定有解。
原因如下:
b属于A的列空间,则b能由A的列向量的线性组合表示。设A有n列,将A按列分块,A=[a1,a2,...,an]。再设b=k1a1+k2a2+...+knan,那么很明显,[k1,k2,...,kn]^T就是本题的一个解。(其中上标T表示转置)
所以首先可以肯定的是:本题有解。

其次,看有多少解。
我们回顾一下解非齐次方程的过程。是这样的:先求出对应的齐次方程的通解,再加上一个特解。
从中可以发现,非齐次方程的解得个数,就是取决于对应的齐次方程的解得个数。如果齐次方程只有一个解,那非齐次方程也只有一个解;如果齐次方程有无穷多个解,那么非齐次方程也是无穷多个解。
现在来看对应的齐次方程Ax=0有几个解:
由于A的列向量线性相关,所以r(A)<n,故Ax=0有无穷多组解,其基础解系的向量个数为:n-r(A)

综上:Ax=b有无穷多解。