证明：设A为n阶矩阵，A的平方等于A ，证明A一定能相似对角化。

一楼用《矩阵论》来解可能LZ不懂啦。
其实就用《线性代数》也能搞定的。

A^2-A=0（此处的0表示零矩阵）

那么根据秩的不等式：
r(A) + r(I-A) - n <= r[A(I-A)] = 0
n = r[A+(I-A)] <= r(A) + r(I-A)

化简一下就是：
r(A) + r(I-A) <= n
r(A) + r(I-A) >= n

所以r(A) + r(I-A) = n

我们知道，
特征值0对应的线性无关特征向量个数为：n-r(A)
特征值1对应的线性无关特征向量个数为：n-r(I-A)
所以A的总的线性无关特征向量个数为：[n-r(A)]+[n-r(I-A)]=n
换言之：n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量，所以A一定能相似对角化

矩阵可以对角化的一个充分条件为最小多项式无重根。现在A^2=A，所以A有化零多项式x^2-x=x(x-1)。这个化零多项式已经没有重根，最小多项式一定整除化零多项式，所以也没有重根