两道高等数学证明题

第一题应该是对的，一楼没注意“单实根”，换言之没有复根
设P(x)是n次多项式，那么P'(x)是n-1次多项式，P'(x)=0最多有n-1个根。
设P(x)-a=0的根为x1,x2,...,xn
P(x)-b=0的根为y1,y2,...,yn

不妨假设：
x1<y1<y2<x2<x3<y3<y4<...<xn<yn

在(y1,y2)上用中值定理：存在y1<m1<y2,使得P'(m1)=0

在(x2,x3)上用中值定理：存在x2<m2<x3,使得P'(m2)=0

在(y3,y4)上用中值定理：存在y3<m3<y4,使得P'(m3)=0
...
P'(mn-1)=0

根据前面的讨论，P'(x)=0的根最多有n-1个，因此他们就是m1,m2,...,mn-1
于是在(x1,y1),(y2,x2),(x3,y3)...上P'(x)都可能等于0，因此在这些区间上P(x)严格单调递增或严格单调递减。
又因为多项式函数是连续的，
所以存在x1<z1<y1,y2<z2<x2,x3<z3<y3...
使得P(z1)=P(z2)=P(z3)=...=c

第二题：
构造g(x)=(e^x)*f(x)
则g(a)=g(b)=0
g'(x)=(e^x)*f(x)+(e^x)*f'(x)
=(e^x)*[f(x)+f'(x)]
中值定理：在(a,b)内至少有个一c，使得g'(c)=0
即：(e^c)*[f(c)+f'(c)]=0
由于e^c>0
所以f(c)+f'(c)=0
也就是说：f(x)+f'(x)=0在(a,b)内至少有一个实根。

2.
因为f(x)在定义域内可导 so fx与f'(x)