如图，AB是圆O的直径,CA切圆O于A。连结CB交圆O于E，F为AC中点，求证：EF是圆O的切线。

连结AE，EO则：∠BEA=90°，∠BAC=90°证得∠B=∠C=45°所以∠EOA=90°三角形CEA为等腰直角三角形，EF为斜边中线、高四边形OEFA为正方形，EF垂直OE，所以EF是圆的切线

连结OE，OF。因为OA=OB，FA=FC，所以OF平行于BC
所以角FOA=角B，角FOE=角BEO 所以角FOE=角FOA
因为OF=OF，OA=OE，所以三角形FOE全等于三角形FOA，所以角FEO=角FAO=90度
所以EF是圆O的切线。

连接EO,EA，因为AB是直径，所以∠BEA=90°，所以∠AEC=90°，又AF=CF,所以EF=1/2AC=AF,又OE=OA,OF=OF,所以三角形FOE全等于三角形FOA，所以角FEO=角FAO=90度，所以EF是圆O的切线。