如图,已知梯形ABCD中,AD//BC,AB垂直于BC,AB=4,AB=CD=5,cos∠C=3/5

由入射角=反射角知道角APB=角EPC
又因为角APB=角PAD
所以角PAD=角EPC
这样，△APD与△PCE相似有两种情况，
角C的正弦值是4/5
过D做DH垂直于BC于H
则CH=3，DH=4，BH=5，BC=8
设BP是x，则

1，角ADP=角C
由角C的余弦值知道此时角ADP是锐角，所以P在BH上
所以PH=BH-x=5-x
由正弦定理知道三角形ADP的面积是
1/2×AD×DP×sin角ADP
=1/2 × 5 × PD×4/5
=2×PD
另外三角行ADP的底为AD=5
高和DH相等为4
所以三角形ADP的面积还等于
5×4/2 = 10
这样就得到方程
2×PD= 10 => PD=5
因为PD=根号下（PH平方+DH平方）
DH=4，
所以PH=3
所以x=5-PH = 2
检验：当BP=2时
发现E点将在CD的延长线而不是CD上
所以这种情况是不符合题意的，舍去。
这是第一种情况

2，角APD=角C
这个时候就要注意了，
检验一个情况：
如果P和H重合，会怎么样？
若P，H重合，可以知道tg角APD=AD/PD=AD/HD=5/4
而tg角C=4/3
说明重合的时候角APD小于角C
又因为P从左到又移动的过程中，
角APD是一直在减小的，
这就说明此时P点仍然在BH上，
而不是在HC上，这一段论述虽然
不写也不会影响，但还是比较重要的。
那么，继续计算：
三角形ADP面积仍然用底×高/2表示，是10
同时用正弦定理表示为
1/2 × AP × PD × sin角APD
=1/2 × sin角C × AP × PD
=2/5 × AP × PD = 10
所以 AP×PD = 25

又由余弦定理，有
AD平方=AP平方