数学数列对一切自然数满足求证问题一道

1、当n=1时，a1=9-6=3
取n=n+1，则：a1+2a2+2^2a3+……+2^(n-1)an+2^na(n+1)=9-6(n+1)
与已知等式相减：2^na(n+1)=-6 => an=-6/2^(n-1) (n>=2)

2、b1=a1,b2=0,b3=a3,b4=0,b5=a5,b6=0,……
b1+b2+b3+……+b(2n-1) = a1 + a3 + a5 + a7 +……+a(2n-1)
= 3 - 6*(1/2^2 + 1/2^4+1/2^6+……+1/2^(2n-2))
= 3 - 6*(1/4)*(1-(1/4)^(n-1))/(1-1/4) (等比数列求和)
= 3 - 2 + 2*(1/4)^(n-1)
= 1+2*(1/4)^(n-1) > 1
说明：a3 , a5 ,a7 …… 构成公比为1/4的等比数列

第一问，首先直接代入n=1,可以知道a1=3
然后代入n=k和n=k-1
并将两个式子相减，左边就只剩下
2^(k-1)ak，右边是9-6k-(9-6(k-1))
整理一下就是答案了

第二问，n是偶数的时候，sin值为0，n是奇数并且n = 4k+1的时候sin值为1，n是奇数并且n=4k+3的时候，sin值为-1，所以n是奇数的时候sin的绝对值为1
所以
b1 = a1 = 3，
bn = 0(n为偶数)
bn = an（n为奇数）

求证的式子也变为求证
b1+b3+b5+...+b2n-1 > 1
an是等比数列，公比为1/2
bn（n为奇数）也是等比数列，公比是1/4
所以bn的前n项和为b1+b3(1-(1/4)^n)/(1-1/4)
当n趋于无穷的时候，和的极限是
b1+ b3/(3/4)=3+(-3/2)/(3/4)= 3-2=1
并且bn全部为负数，所以
b1+b3+...+b2n-1 > 全部bn的和 = 1