已知函数f(x)=x的三次方+x(x属于rR),若a,b,c属于R,且a+b>0,b+c>0,c+a>0,试证明:f(a)+f(b)+f(c)>0.

证明：由f(x)=x^3+x.求导得，f'(x)=3x^2+1>0。又f(-x)+f(x)=0.===>f(x)是单调递增的奇函数。不妨设a≥b≥c.由a+b>0,b+c>0,c+a>0知，必有a≥b>0.(1)若c≥0,===>f(a)≥f(b)＞f(0)=0,f(c)≥f(0)=0.===>f(a)+f(b)+f(c)>0.(2)若c<0,则-c>0.===>f(-c)>f(0)=0.且由题设及假设知，a>b>-c>0>-b>-a.===>f(a)>f(b)>f(-c)>f(0)=0.===>f(a)+f(b)-f(-c)>0.===>f(a)+f(b)+f(c)>0.综上知，原命题真。证毕！（因f(-c)=-f(c).)