UC知道双曲线中的渐近线问题！
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/25 00:13:11
在双曲线的渐近线与切线比较中 我发现一个可能恒成立的问题 但是无法正确证明 或者说不知道是不是恒成立! 想请高手帮忙证明！
问题如下； 对于标准的双曲线 焦点在X轴上的那中 过一定点（此定点在渐进线所夹但又不含双曲线的区域内）做双曲线下支的切线 切线是否总在渐进线上方 或者说斜率的绝对值总是 切线的 ＞ 渐进线的 ？？？我尝试了几个 总是这样 不知道对任意的双曲线是否恒成立 或者能否推广？
不能附图？？？？？？！！！！（图中①③区域是定点所在区域 但不包括渐进线本身 虚线是渐进线）（兜里没有财富了！！）
问题如下； 对于标准的双曲线 焦点在X轴上的那中 过一定点（此定点在渐进线所夹但又不含双曲线的区域内）做双曲线下支的切线 切线是否总在渐进线上方 或者说斜率的绝对值总是 切线的 ＞ 渐进线的 ？？？我尝试了几个 总是这样 不知道对任意的双曲线是否恒成立 或者能否推广？
不能附图？？？？？？！！！！（图中①③区域是定点所在区域 但不包括渐进线本身 虚线是渐进线）（兜里没有财富了！！）
首先,我们来做一个狭义的证明(即对标准的双曲线)
(x^2)/(m^2)-(y^2)/(n^2)=1(m,n为任意非0参数)
1.我们有(x^2)/(m^2)-(y^2)/(n^2) ＞0
(x^2)/(m^2)＞(y^2)/(n^2)
|x/m|＞|y/n|
|xn|＞|ym|
|xn|/|ym|＞1
2.该双曲线的渐近线的斜率的绝对值为|n/m|
3.过一定点做出的双曲线的某一支(上支或下支)的切线,必为双曲线上某一点的切线
4.任取该双曲线上的一点(a,b),过该点的切线方程即为将该点带入双曲线后的方程:(ax)/(m^2)-(by)/(n^2)=1
(注:此处结论的证明可自行尝试,不是很难,如果需要证明过程,可在问题补充处说明,同时该结论对一切2次曲线(包括圆，椭圆等等)均成立)
由于(a,b)在双曲线上,通过(1)的证明,我们有|an|/|bm|＞1
该切线的斜率的绝对值为|(a*n^2)/(b*m^2)|=|(an)/(bm)|*|n/m|
＞1*|n/m|
=|n/m|
综上,我们得出原题(狭义的)结论
然后,我们来说明一下广义上的情况,广义的双曲线的表达形式比较复杂,不能简单地说斜率的绝对值总是 切线的 ＞ 渐进线的,但我们通过坐标器的变换(Laplace变换,国内名字不知道,但应该不这么叫),将其还原为标准双曲线来讨论,以上。
来自：求助得到的回答