不等式问题!!数学高手进!!!

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/19 20:19:27
几道题
1.已知X,Y,Z为正数,求证(X+Y+Z)^3大于等于27XYZ.
2.已知a,b,c,d为正数,求证(ab+cd)(ac+bd)大于等于4abcd.
3.求证a^2+b^2+c^2大于等于ab+bc+ca.
4.已知a,b,c是不全相等的正数;
求证:a+b+c>根号下ab+根号下bc+根号下ac
和:a分之b加b分之c加c分之a>3
5.已知a,b为正数,且a+b=1,求证:a分之1加b分之1大于等于4
谢谢大家!!!
帮个忙吧!!!

（1）(X+Y+Z)^3 ≥ ( 3*立方根号内(XYZ) )^3 = 27XYZ

（2）
ab+cd ≥ 2根号内(abcd)
ac+bd ≥ 2根号内(abcd)
两式相乘，得：
(ab+cd)(ac+bd) ≥ 4abcd

（3）
a^2 + b^2 ≥ 2ab
a^2 + c^2 ≥ 2ac
b^2 + c^2 ≥ 2bc
三式相加，得：
a^2+b^2+c^2 ≥ ab+bc+ca

（4）
a + b ≥ 2根号内(ab)
a + c ≥ 2根号内(ac)
b + c ≥ 2根号内(bc)
三式相加，得：
a+b+c ≥ 根号下ab+根号下bc+根号下ac
取等号的条件是a=b=c
但题目中a,b,c不全相等，故不能取等号，所以：
a+b+c > 根号下ab+根号下bc+根号下ac

b/a + c/b + a/c ≥ 3*立方根号内(b/a * c/b * a/c)
= 3
同样，取等号的条件是a=b=c
但题目中a,b,c不全相等，故不能取等号，所以：
b/a + c/b + a/c > 3

（5）
1/a + 1/b = (a+b)/ab
= 1/ab
≥ 1/[(a+b)/2]^2
= 4