数学题，椭圆 谢谢！

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/03 16:51:06
以椭圆x^2/a^2+y^2=1(a>1)的短轴端点B（0，1)为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，若这样的三角形有且只有一个，求a的取值范围。

解：设过点B(0,1)的直线AB的参数方程为 x=tcosα
{ (α为倾斜角,设为锐角) y=1+tsinα
代入椭圆方程得(cos^α+a^sin^α)t^+2atsinα=0,∴t1=0,t2=(-2asinα)/(cos^α+a^sin^α),|AB|=2asinα/(cos^α+a^sin^α),|
BC⊥AB,BC的倾斜角为90°+α,∴|BC|=2acosα/(sin^α+a^cos^α),
由|AB|=|BC|得(sinα)^3-(cosα)^3=a^sinαcosα(sinα-cosα),
∴sinα-cosα=0或sin2α=2/(a^-1),∵|sin2α|≤1,∴|2/(a^-1)|≤1,∴a≥√3(此时α=45°)