高中数学题——椭圆008

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/27 12:55:58
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，同时满足以下条件：
(1)离心率e=sqrt2/2
(2)经过点P(1,0)的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且AB的中点在直线y=x/2上
(3)椭圆C上存在一点，与其右焦点关于直线l对称。
求直线l及椭圆C的方程

设椭圆方程x^2/2b^2+y^2/b^2=1，l方程为y＝k(x-1)（k不存在时中点不在y＝x/2上）A(x1,y1)B(x2,y2)
x^2+2k^2*x^2-4k^2x+2k^2=2b^2
因此x1+x2＝4k^2/(1+2k^2)，因此y1+y2=k(x1+x2-2)
将[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]代入y＝x/2
得k＝-1
因此l方程为y＝-x+1
F(b,0)设对称点为(x',y')，中点在l上有y'/2=-(b+x')/2+1
垂直有y'/(x'-b)=1，解得(x',y')为(1,1-b)代入椭圆方程即得b=3/4
因此椭圆方程为8x^2/9+16y^2/9=1