无理数集是不可数集的证明

实数集由有理数和无理数组成,有理数是可数的,实数是不可数的.若无理数可数,先把它排列成一个序列,然后把有理数间插入其中,得到实数可数的结论,矛盾.故无理数集不可数.(有关结论参看复旦大学陈纪修版数学分析)

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　　无理数
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　　页面分类(1): 无理数

　　无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。 常见的无理数有大部分的平方根、π和e（其中后两者同时为超越数）等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式。

　　传说中，无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯斯发现。他以几何方法证明无法用整数及分数表示。而毕达哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示，不相信无理数的存在。但是他始终无法证明不是无理数，后来希伯斯将无理数透露给外人——此知识外泄一事触犯学派章程——因而被处死，其罪名等同于“渎神”。

　　目录 [隐藏]
　　1 根号2
　　1.1 常见的证明
　　1.2 另一个证明
　　2 不知是否无理数的数
　　3 无理数集的特性
　　4 外部链结

　　[编辑]根号2
　　是最早被发现的无理数。

　　人们发现了许多方法证明是无理数。以下是反证法的证明。

　　[编辑]常见的证明
　　假设是有理数，即有整数a、b，。
　　将写成最简分数，即a和b互质，且
　　所以，a2 = 2b2
　　因为2b2必为偶数，故a2亦是偶数
　　故a为偶数（奇数的平方不会是偶数）
　　所以必有一整数k，使得a = 2k
　　将(3)的式子代入(6)：
　　化简得b2 = 2k2
　　因为2k