在锐角△ABC中，∠ABC＝2∠C，∠ABC的角平分线与AD垂直，垂足为D，求证：AC＝2BD。

证明：过A作BC的平行线交∠ABC的角平分线的延长线BD与F点
由BC//AF得，∠CBF=∠AFE，∠C=∠EAF
又∠C=1/2∠ABC=∠CBF，所以得到∠EAF=∠AFE，从而
△AEF是等腰三角形，则EF=EA
又△CEB也是等腰三角形，故CE=BE
那么EF+BE=EA+CE，即BF=AC
同样∠CBF=∠AFE=∠ABF，则AB=AF，所以△ABF是等腰三角形
那么等腰三角形ABF的底边垂线AD平分底边BF
所以BD=1/2BF=1/2AC，即AC=2BD，得证

因为BD平分∠ABC，∠ABC=2∠C，
所以∠DBC=∠C且∠DBC+∠C=90度
所以∠DBC=∠C=45度，所以三角形ABC是等腰直角三角形。
所以BD为三角形ABC的垂直平分线，因此，CD=AD。
又因为∠DBC=∠DCB所以DB=CD，所以AC=2BD。

一楼怎么知道∠DBC+∠C=90度?D点是在AC上么?

延长BD交AC于O点,则根据题意可知∠OBC=1/2∠ABC=∠C,所以三角形OBC是等腰三角形,也就有OB=OC;而OB=OD+BD,OC=AC-OA,故OD+BD=AC-OA,AC=OA+OD+BD,下面只要证明OA+OD=BD即可.
在三角形ADB是直角三角形,故有AD=BDTg(1/2∠ABC);
直角三角形ADO有OA=AD/Sin∠AOD=AD/Sin∠ABC,OD=AD/Tg∠AOD=AD/Tg∠ABC;
OA+OD=AD/Sin∠ABC+AD/Tg∠ABC=BDTg(1/2∠ABC)(1/Sin∠ABC+1/Tg∠ABC);
利用三角函数很容易证明Tg(1/2∠ABC)(1/Sin∠ABC+1/Tg∠ABC)＝1;
故有OA＋OD＝BD，从而命题AC＝2BD得证．
也不知道有没有讲清楚？