已知a.b.c是实数,求证(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0有实数根

x^-(a+b)x+ab+x^-(b+c)x+bc+x^-(c+a)x+ac=0
3x^-2(a+b+c)x+ab+bc+ac=0
判别式=4(a+b+c)^-12(ab+bc+ac)
=4(a^+b^+2ab+c^+2ac+2bc-3ab-3bc-3ac)
=4(a^+b^+c^-ab-ac-bc)
=2(2a^+2b^+2c^-2ab-2ac-2ac)
=2[(a-b)^+(b-c)^+(a-c)^] 大于等于零 恒成立
所以，有实数根。
命题得证。
注：^ 代表 平方

简单
(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)
=3x^2-2(a+b+c)x+ab+bc+ca=0

△=4(a+b+c)^2-12(ab+bc+ca)=4[(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)]

因为
(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)
=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca
=[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]/2≥0

所以△≥0

故(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0有实数根

(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0
-2x(a+b+c)=3(x^2+ab)
因为a.b.c是实数
所以a+b+c是实数
2ab是实数.
所以可以看成:
实数a+3x^2-实数b*2x=0
所以x有实数根..