等边三角形外任意一点到三边的距离和等于中线的长

设等边△ABC中，有一点P，连接PA、PB、PC
过P点作PM⊥BC，PN⊥AC，PO⊥AB
所以PM、PN、PO分别是△PBC、△PAC、△PAB的高
△PAB的面积=AB*PO/2
△PAC的面积=AC*PN/2
△PBC的面积=BC*PM/2
作BC边上的中线AD，根据等边三角形的性质，AD是BC边上的高（三线合一）
△ABC的面积=BC*AD/2
△ABC的面积=△PAB的面积+△PAC的面积+△PBC的面积
BC*AD/2=AB*PO/2+AC*PN/2+BC*PM/2
因为等边三角形三边相等，即AB=AC=BC
所以上式化简为：AD=PO+PN+PM
因为等边三角形三边上的中线相等
所以P点到三边的距离和等于中线的长

按照面积来证明，高招啊

不过，等边三角形内，任意一点到三边的距离和等于中线的长
而：等边三角形外任意一点到三边的距离和不等于中线的长

可以简单的反证以下么：
等边三角形外，可以存在一点，到某一边的距离大于中线的长度。