请证明1是一个无理数。

估计楼主是在说e。用反证法证明。
证明:e=1+1/1!+1/2!+1/3!+...
假设e=p/m,(p,m为整数)显然e可表示为j/m!(j为整数).
由e=1+1/1!+1/2!+1/3!+...得e的展开式的前m+2项为e=1+1/1!+1/2!+1/3!+...+1/m!很明显此m+2项可表示为k/m!,(k为整数),而后的无穷项为1/(m+1)!+1/(m+2)!+...=1/m!(1/(m+1)+1/(m+1)(m+2)+...)<1/m!(1/(m+1)+1/(m+1)^2+...)=1/m!m<1/m!.
由m+2项可表示为k/m!,(k为整数),而后的无穷项<1/m!得e不可表示为j/m!(j为整数).这与假设矛盾. 故e为无理数.

1是有理数,有限小数