α+β+γ=2π 求sinα+sinβ+sinγ 的最大值

sinα+sinβ+sinγ=sin(2π-α-β)+sinα+sinβ
=sinα+sinβ-sin(α+β)
=sinα+sinβ-sinαcosβ-cosαsinβ
=sinα(1-cosβ)+sinβ(1-cosα)
令F(α,β)=sinα(1-cosβ)+sinβ(1-cosα)
则当F(α,β)的偏导数都为0时F(α,β)才会出现极值
求它的偏导数:
F'α(α,β)=(1-cosβ)cosα+sinβsinα
F'β(α,β)=(1-cosα)cosβ+sinβsinα
所以有极值条件为:
cosα-cos(α+β)=0
cosβ-cos(α+β)=0
即cosα=cosβ=cos(α+β)
把所有情况都解出来(假定都在2π这个周期内,推广出去结果是一样的):
1.α=2π,β=0
2.α=0,β=2π
3.α=0,β=0
4.α=2/3π,β=2/3π
显然4.是极大值,也是最大值.故当α=2/3π,β=2/3π,γ=2/3π时,
sinα+sinβ+sinγ的最大值为3√3/2