为什么cos 54°＝{[5-（√5）]/2}^0.5 /2

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/04/27 00:04:07
即
arccos{[5-（√5）]/2}^0.5 /2 ＝54°

余弦定理就得了

引用公式:cos3A=4(cosA)^3-3cosA
今令A=18°,则有 cos3A=sin2A
即 4(cosA)^3-3cosA=2sinAcosA 两边同时约去cosA并化简得
4(cosA)^2-3-2sinA=0 又(cosA)^2=1-(sinA)^2 故有
1-4(sinA)^2-2sinA=0 解出sinA=(√5-1)/4=(6-2√5)^(0.5)/4
再求出 cosA=(10+2√5)^(0.5)/4
于是 cos 54°= sin 36°=2sinAcosA=2*[(6-2√5)*(10+2√5)]^0.5/16=(40-8√5)^(0.5)/8=[(5-√5)/2]^(0.5)/2
说明:cos3A=cos2AcosA-sin2AsinA=(cosAcosA-sinAsinA)cosA-2sinAcosAsinA=4cosAcosAcosA-3cosA