已知a,b,c为△ABC的三边，且满足a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=0,试判断△ABC的形状，并证明你的结论。

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/17 00:51:40
已知a,b,c为△ABC的三边，且满足a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=0,试判断△ABC的形状，并证明你的结论。题中2为平方

原式=a^2*b-a^2*c+b^2*c-a*b^2+c^2*(a-b)
=a^2*b-a*b^2-c(a^2-b^2)+c^2*(a-b)
=ab(a-b)-c(a+b)(a-b)+c^2*(a-b)
=(a-b)[c^2-c(a+b)+ab]
=(a-b)(c-a)(c-b)

(a-b)(c-a)(c-b)=0

所以a=b
c=a
c=b
a=b=c
所以三角形ABC是等边三角形

a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)
=a^2*(b-a+a-c)+b^2*(c-a)+c^2(a-b)
=-a^2*(a-b)-a^2*(c-a)+b^2(c-a)+c^2(a-b)
=(a-b)(c^2-a^2)+(c-a)(b^2-a^2)
=(a-b)(c-a)(c+a)+(c-a)(a+b)(b-a)
=(a-b)(c-a)[(c+a)-(a+b)]
=(a-b)(c-a)(c-b)
=0
说明a,b,c中至少有两个相等
所以△ABC为等腰三角形

等腰.
原式=a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2[(a-c)+(c-b)]
分组分解得
(a-b)(b-c)(c-a)=0

应该是个正三角形吧
三个角度都是60度