证明连接四边形中点所得四边形为原四边形面积的一半

作大四边形ABCD的对角线AC,BD，交于O
AB中点为E,BC中点F，CD中点为G，AD中点H
EH交AC于I，HG交BD于J
因为E，H，G为中点
所以EH平行于BD，HG平行于AC
所以HI平行于BD，HJ平行于AC
所以I，J分别为AO，DO中点
就把四边形ABCD分成四个共点于O的三角形
把四边形EFGH分成四个共点于O的四边形
根据三角形中点连线性质
三角形AHI，DHJ的面积均等于1/4三角形ADO
所以四边形HIOJ的面积为三角形AOD的一半
如此类推
所以EFGH的面积为ABCD的一半

设四边形ABCD,顶点四个角为a,b,c,d。
连接对角线，四边形面积可视作两三角形面积之和。那么如果将ABC,ADC,ABD,BCD四个三角形面积相加，得到总面积为四边形面积两倍。运用正弦定理得：
2V(ABCD)为1/2*sina*AB*AD+1/2*sinb*AB*BC+1/2*sinc*BC*CD+1/2*sind*AD*DC。
那么V=1/4*sina*AB*AD+1/4*sinb*AB*BC+1/4*sinc*BC*CD+1/4*sind*AD*DC。
原四边形扣除中间的四边形应有四个小三角形。
同样用正弦定理求得它们的面积:
V(四个三角形)=1/2*sina*1/2AB*1/2AD+1/2*sinb*1/2AB*1/2BC+1/2*sinc*1/2BC*1/2CD+1/2*sind*1/2AD*1/2DC。
结果是V=1/8*sina*AB*AD+1/8*sinb*AB*BC+1/8*sinc*BC*CD+1/8*sind*AD*DC。是总面积的一半，那么中间的四边形面积也应为总面积一半