一道高二数列题目～！！！！

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/22 03:24:16
某学校餐厅供应1000名学生用餐，每周有A，B两组菜可供选择，调查资料表明：在本周选A组菜的学生中有20%在下周选B组菜，而在本周选B组菜学生中有30%在下周选A组菜。用an,bn分别表示在第n周选A组菜，B组菜的学生数。
1.试以an,bn表示a(n+1),并证明a(n+1)=1/2 an+300
2.记cn=an-600(cn不等于0），求证cn为等比数列
3.用a1,n表示an,若a1=200,问第几周时选A组菜与选B组菜的人数相等？

1.用an,bn分别表示在第n周选A组菜，B组菜的学生数。
根据题意,an个学生中在下周仍然选A组菜的有:80%*an
bn个学生下周选A组菜的有:30%*bn
这样,下周选A组菜的同学共有:a(n+1)=0.8*an+0.3*bn
同理,an个学生中下周选B组菜的有0.2*an,bn个学生中下周选B组菜的有:0.7*bn
所以,b(n+1)=0.2*an+0.7*bn
注意到,a(n+1)+b(n+1)=1000
三个公式联立,消去b(n+1),bn得到:
a(n+1)=1/2 an+300
2.因为a(n+1)=1/2 an+300
所以,a(n+1)-600=1/2[an-600]
这样,令cn=an-600
显然有:c(n+1)=1/2*cn
很显然,cn是等比数列,并且公比为1/2
3.由于cn是等比数列,所以,cn=c1*(1/2)^(n-1)
c1=a1-600=-400
这样,cn=-400*(1/2)^(n-1)
所以,an=600-400*(1/2)^(n-1)
显然,当an=500时,选A组菜与选B组菜的人数相等
解出,当n=3时,an=500