初中数学题（代数的~~~~~~~）

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/13 01:04:50
已知实数a,b,c,满足a和b的平方和等于1，b和c的平方和等于2,c和a的平方和等于2，问ab+bc+ac的最小值是几（我知道，abc可以分别求出再代入，但是，这种方法太麻烦，有没有直接利用代数式推到的方法？？？？？？）
下面的那位，(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2肯定是个具体数，不能那样想的~~~

因为: b2+c2=2
c2+a2=2
所以： b2=a2
带入a2+b2=1得
2b2=2a2=1
b2=a2=1/2
带入c2+a2=2
c2=3/2
则a=b=+-√(1/2) c=+-√(3/2)
要使ab+bc+ac最小 则bc+ac应该为负数 ab应该同号
ab+bc+ac=√(1/2)*√(1/2)+√(1/2)*—√(3/2)+√(1/2)*—√(3/2)*
=1/2-√3
答：最小值为1/2-√3

因为：
a2+b2=1
b2+c2=2
c2+a2=2
则a2+b2+b2+c2+c2+a2=5
则(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2-2ab-2bc-2ac=5
(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2-5=2ab+2bc+2ac
[(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2-5]/2=ab+bc+ac
(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2大于等于0
所以(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2-5 的最小值为-5
所以ab+bc+ac的最小值 为 -2.5