怎么求这类数列的前n项和？

并不是所有的数列都能求其前n项和的,一般来说求一个收敛数列的极限要比求其前n项和容易.
比如第一个前n项和是不能用简单的式子表示的,或者狭义的说不可求前n项和.但是改数列的极限却是可求的.
e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+....
两边同时求导得到:
e^x=1+2x/2!+3x^2/3!+....+nx^(n-1)/n!+...
所以xe^x=x+2x^2/2!+3x^3+....+nx^n/n!+...
令x=a即得到上式的极限值为ae^a

这个数列最好用导数法求解
S(p)=p+p^2+p^3+....+p^n=p(p^n-1)/(p-1)
则pS'(p)=p+2p^2+3p^3+...+np^n=p(np^(n+1)-(n+1)p^n+1)/(p-1)^2
(pS'(p))'=1+2^2*p+3^2*p^2+..+n^2*p^(n-1)=[n^2p^(n+2)-(2n^2+2n-1)p^(n+1)+(n+1)^2p^n-p-1]/(p-1)^3

第一个没有办法,但是第二个可以