已知三角形的三角正切植均为正整数,这样的三角形有多少个

因为A+B+C=180
所以tanA=tan(180-B-C)=-tan(B+C)=-(tanB+tanC)/(1-tanBtanC)
整理得到:tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanA
设a=tanA,b=tanB,c=tanC,
则a+b+c=abc,且a,b,c均为正整数
两边同时除以abc得到:1/(bc)+1/(ac)+1/(ab)=1
设bc=x,ac=y,ab=z,
则x,y,z均为正整数,且1/x+1/y+1/z=1
不妨设x≥y≥z
则3/x≤1/x+1/y+1/z≤3/z
所以3/x≤1≤3/z
从而x≥3,z≤3
又z≥1
所以z=2或3

若z=3,则1/x+1/y=2/3
又2/3=1/x+1/y≤2/y
所以y≤3
又y≥z
所以y=3,从而x=3

若z=2,则1/x+1/y=1/2
1/2=1/x+1/y≤2/y
所以y≤4
又1/y<1/x+1/y=1/2
所以y>2
所以y=3,4
分别代入x=1/(1/2-1/y)
得到x=6,4

所以{x=4,y=4,z=2},{x=6,y=3,z=2},{x=y=z=1/3}
又tanA=a=abc/(bc)=√(yz/x),tanB=√(xz/y),tanC=√(xy/z)
分别带入检验发现只有当{x=6,y=3,z=2}时三正切值为整数
此时tanA=1,tanB=2,tanC=3
即满足条件的三角形只有一种