求助,函数的奇偶性

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/17 06:43:26
f(x),g(x)分别是定义域R上的奇函数,偶函数,若f(x)-g(x)=1-x^2(x+1),则g(x)的解析式为
A.1-x^2
B.2-2X^2
C.x^2-1
D.2X^2-2
这道题不知如何入手,请大家帮助,谢谢了.

利用奇函数,偶函数定义

将-x带入 得
f(-x)-g(-x)=1-(-x)^2(-x+1)

f(-x)=-f(x) g(-x)=g(x) （定义）

所以-f(x)-g(x)=1-x^2(1-x)
联立 f(x)-g(x)=1-x^2(x+1)
得 －2g(x)=2-2*x^2
即 g(x)=x^2-1

选c

解：
由f(x)-g(x)=1-x^2(x+1)得
f(-x)-g(-x)=1-(-x)^2(-x+1)
因为 f(x)+f(-x)=0,g(x)=g(-x)
将前面两式相加得
f(x)+f(-x)-g(x)-g(-x)=1-x^2(x+1)+1-(-x)^2(-x+1)
化简得
-2*g(x)=2-x^2(x+1-x+1)
g(x)=x^2-1
答案选C

将-x代入f(x)-g(x)=1-x^2(x+1)得
f(-x)-g(-x)=1-x^2(-x+1)
由f(x)为奇函数g(x)为偶函数
上试=-f(x)-g(x)=1-x^2(-x+1)
和题目中的f(x)-g(x)=1-x^2(x+1)相加可得答案D.2X^2-2