已知a.b.c.d满足a+b=c+d,a^2+b^2=c^2=d^2,求证a^2005+b^2005=c^2005+d^2005

解 设a+b=c+d=k
则有a=k-b c=k-d

将其代入 得
(k-b)^2+b^2=(k-d)^2+d^2
k^2-2kb+b^2+b^2=k^2-2kd+d^2+d^2
2b^2-2kb=2d^2-2kd
b^2-kb=d^2-kd
b^2-d^2=kb-kd
(b+d)(b-d)=k(b-d)

分类讨论：
1.b-d不等于0，则
b+d=k

因为a+b=c+d=k b+d=k
所以可得 a=d b=c

将其代入 得
d^2005+b^2005=b^2005+d^2005

此为恒等式。[这一步的过程我不知道怎么写- -看着办吧……]

2.b-d=0，则b=d
同理[同上面分类讨论之前那一大段的理]，a=c

代入 得
c^2005+d^2005=c^2005+d^2005
此为恒等式。[是么……]

- -分类讨论的时候有点不顺 有错误请纠正。。。

a+b=c+d,a^2+b^2=c^2=d^2
+
ab=cd
a=c+d-b
(c+b-d)b=cd
b(b-d)=c(b-d)
b=d a=c 或
b=c a=d
b=d a=c a^2005+b^2005=c^2005+d^2005
b=c a=d a^2005+b^2005=c^2005+d^2005