已知定义域为R的函数y=f(x)满足:

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/21 10:20:30
已知定义域为R的函数y=f(x)满足:
(1)f(x+y)=f(x)×f(y)对任何x,y都成立,
(2)对于任何不相当的实数x1,x2均有f(x1)≠f(x2)
求证:(1)f(0)=1 (2)f(x)>0

已知函数y=lg(x的平方-ax+1).
(1)若该函数的定义域为R，求实数a的取值范围;
(2)若该函数的值域为R，求实数a的取值范围。

都要求有解题步骤的。。。。

第一题：
(1)由第一个条件，假设y＝0，有：f(x)=f(0)×f(x)，再由第二个条件知，f(x)不等于0（因为，若f(x)=0,则对于任意的f(x+y)=0恒成立，这与第二个条件矛盾），所以将f(x)=f(0)×f(x)两边约去f(x)，得：f(0)=1
(2）令x＝y＝0.5t，则有：f（t)＝〔f(0.5t)〕的平方>=0，又由第一问的推导知，f（x)不等于0(这里x和t的选取与函数性质无关），所以f(x)>0。
第二题：
（1）因为函数定义域为R，所以，对于任意的x属于R，都有x的平方-ax+1>0，因为x的平方-ax+1这个抛物线开口向上，所以，要满足对于任意的x属于R，都有x的平方-ax+1>0，只要这个抛物线与x轴无交点就可以了，即判别式<0,即a的平方-4<0，解出a属于（-2，2）。
（2）因为函数值域为R，所以，只要让x的平方-ax+1取遍全体正数，即可（解释一下，由y＝lgx的性质可知，此函数值域为R，定义域为（0，正无穷），也就是说，只要x取遍（0，正无穷）所有数，y就可以取遍所有R。换个角度说，只要x少取一个（0，正无穷）中的数，y就相应的少取一个R中的数，就不满足题意）。所以此时x的平方-ax+1与x轴至少有一个交点，即此时判别式>=0，即a的平方-4>=0，解出a属于（负无穷，-2〕并〔2，正无穷）。