一个正四棱锥的底面面积为Q,则它的中截面的边长是?

1)取AC上一点Q，使PQ平行于BC，连接PQ、NQ，则四边形PQNM为截面
因为SM/MB=SN/NC
所以MN平行于BC
所以MN平行于PQ
因为AP/PB=SM/MB
所以AP/AB=SM/SB
因为AP/AB=PQ/BC
SM/SB=MN/BC
所以PQ=MN
同理可证PM=QN
所以四边形PQNM为平行四边形
所以PM平行于QN
因为S-ABC为正三棱锥
所以AS垂直于BC
因为PM平行于AS
且MN平行于BC
所以PM垂直于MN
所以PQNM为矩形
所以过P、M、N三点的截面是矩形
2)设BP/AB=k
因为AB=b SA=a
所以PB=kb PM=ka
所以PQ/BC=AP/AB=(b-kb)/b=1-k
所以PQ=(1-k)b
所以S=PM*PQ=ka*(1-k)b=k(1-k)ab
因为k大于0
所以k(1-k)小于等于0.25，当且仅当k=0.5时等号成立
所以面面积的最大值为0.25ab

分析：底面面积为Q，正四棱锥底面为正方形，因此边长为√Q。
中截面每一条边都是一侧面的中位线，因此为底边的一半。
所以答案是√Q/2。