已知二次函数f(x)满足f(0)=1及f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)

a=3/2 b=-3/2 c=1

f(1)-f(0)=0;
f(2)-f(1)=2;
f(3)-f(2)=4;
...
f(x+1)-f(x)=2x;
将上面各式相加得：
f(x+1)-f(0)=0+2+..+2x=x(x+1)
故f(x+1)=1+x(x+1)
即f(x)=1+(x-1)x=x^2-x+1

f(1)-f(0)=0
f(1)=f(0)=1
所以对称轴为1/2
设二次函数方程为y=a(x-1/2)^2+k
1=a/4+k
f(2)-f(1)=2
f(2)=3
3=9a/4+k
2=2a
a=1
k=3/4
y=(x-1/2)^2+3/4

设f(x) =ax^2+bx+c
f(0)=1
c=1
f(x+1)-f(x)=2x
a(x+1)^2+b(x+1)+1-(ax^2+bx+1)=2x
(2a-2)x+1+b=0
当x为任意实数时上面的等式恒成立
所以2a-2=0,1+b=0
所以a=1,b=-1
所以f(x)=x^2-x+1

我认为6楼（“同在一个星球”）的方法挺好，只是其中有一个小错误：“(2a-2)x+1+b=0 ”的“1”应改为“a”，最后答案一样。(以上纯属个人意见，有误之处请指正，3Q！）

f(x)=1/2X^2-1/2X+1