数学难题系列（8）

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/24 13:11:14
设x,y,z>=0,x+y+z=1,求证：27/8<=1/{1-[(x+y)/2]^2}+1/{1-[(y+z)/2]^2}+1/{1-[(z+x)/2]^2}<=11/3.

证明过程详细且正确的加分！！！！
请“hellobbbo”说明取得最大值最小值的原因！

我来答答看吧 我来完善下
z=1-x-y (1)
化简1/{1-[(x+y)/2]^2}=1/(1+z)+1/(3-z) (2) 同理可得
1/{1-[(y+z)/2]^2}=1/(1+x)+1/(3-x) (3)
1/{1-[(z+x)/2]^2}=1/(1+y)+1/(3-y) (4)
原试=1/(1+z)+1/(3-z)+1/(1+x)+1/(3-x)+1/(1+y)+1/(3-y)
1/(1+z)+1/(1+x)+1/(1+y)>=9/{(1+z)+1+x)+(1+y)} 当1+z=1+x=1+y 取等号 得最小值
当x=y=z=1/3时取最小值 原试=27/8
当z=1 x=y=0时 最大值 原试=11/3