奥数竞赛题3

给8×8矩形编号如下:
1 2 3 4 5 6 7 8
2 3 4 5 6 7 8 9
3 4 5 6 7 8 9 10
4 5 6 7 8 9 10 11
5 6 7 8 9 10 11 12
6 7 8 9 10 11 12 13
7 8 9 10 11 12 13 14
8 9 10 11 12 13 14 15
这64格数字加起来是4的倍数
再看4×1的矩形,它不管放在什么位置,盖住的4个数字加起来除以4都是余2的
而2×2的矩形不管放在什么位置,盖住的4个数字加起来是4的倍数
所以,16个小矩形的数字之和≡2×15+0≡2(mod4)
所以不可能盖住

把8*8用黑白两色染色 用1代表黑色 0代表白色 把8*8画成下面这样
10011001
11001100
01100110
00110011
10011001
11001100
01100110
00110011
如图2，用间隔为两格且与副对角线平行的斜格同色的染色方式，以黑白两种颜色将整个地面的方格染色.显然，地面上黑、白格各有32个.

每块4×1的矩形砖不论是横放还是竖盖，且不论盖在何处，总是占据地面上的两个白格、两个黑格，故15块4×1的矩形砖铺盖后还剩两个黑格和两个白格.但由于与副对角线平行的斜格总是同色，而与主对角线平行的相邻格总是异色，所以，不论怎样放置，一块2×2的矩形砖，总是盖住三黑一白或一黑三白.这说明剩下的一块2×2矩形砖无论如何盖不住剩下的二黑二白的地面.从而问题得证.