已知a,b都是正数，x,y是任意实数，且a+b=1,求证:ax^2+by^2>=（ax+by)^2

ax^2+by^2-(ax+by)^2=(a-a^2)x^2+(b-b^2)y^2-2abxy

因为
(a-a^2)x^2+(b-b^2)y^2>=2xy√(a-a^2)(b-b^2)
当且仅当x√(a-a^2)=y√(b-b^2)时取等号，上式对于x、y为任意实数均成立。

而(a-a^2)(b-b^2)=ab(1-a)(1-b)
因为a+b=1，所以，(a-a^2)(b-b^2)=ab(1-a)(1-b)=aabb=a^2b^2
2xy√(a-a^2)(b-b^2)=2xy√a^2b^2=2abxy,
可见(a-a^2)x^2+(b-b^2)y^2-2abxy>=0
即ax^2+by^2-(ax+by)^2>=0
即ax^2+by^2>=（ax+by)^2
原命题得证

因为a+b=1
所以a=1-b

若ax^2+by^2>=（ax+by)^2
则ax^2+by^2>=a^2x^2+2abxy+b^2y^2
则(1-b)x^2+by^2>=(1-b)^2x^2+2(1-b)bxy+b^2y^2——代入a=1-b
简化后的bx^2+by^2-2bxy>=b^2x^2-2b^2xy+b^2y^2
因为b是正数
所以两边同时除以b后得x^2+y^2-2xy>=b(x^2-2xy+y^2)
所以（x-y)^2>=b(x-y)^2
所以（x-y)^2（1-b)>=0
因为x y为任意实数，所以（x-y)^2>=0
又因为a b为正数，且a+b=1，所以1>=b>=0,所以1-b>=0
所以（x-y)^2（1-b)>=0成立
所以ax^2+by^2>=（ax+by)^2

呵呵，好久没做过证明题了！