谁有函数求值域的好办法

关于函数的值域http://www.cbe21.com/subject/maths/printer.php?article_id=1003

关于函数的值域（最值）的解决方法，有很多文章介绍了，如判别式法，实根分布法等，判别式法历来不能完全解决这个函数的值域（最值）问题，实根分布法比较复杂。我们应用函数的性质，可以完整解决分式函数的值域问题。

下面对和先讨论函数的性质。

性质1 若，函数在区间和区间是单调增函数；在区间 和区间是单调减函数。

性质1的证明从略。

性质2 若，函数在区间和区间上都是增函数。

性质2的证明从略。

例1 分别求函数在指定区间上的值域

（1） （2） （3）

解：（1）利用均值不等式，

，

当时，，

所以，函数的值域是。

（2）由（1）的解答过程，因为，所以均值不等式就失去了作用。我们可以用函数的单调性解决这个问题。

因为函数在区间上是增函数，当时，，所以，函数的值域是。

（3）把区间分割成两部分：和，由性质1知，函数在区间和上分别是减函数、增函数，

那么这个函数在两个区间上的值域分别是和，

所以函数在区间上的值域是。

例2 求下列函数的值域

（1） （2）

解：（1）用部分分式法，，就化归为例1（1）的情形。

（2）用换元法把分母上的式子转换为一个单项式。

设，则，代入函数得

,其中，当即时，函数取最小值。所以，原函数的值域为

例3 求函数的