高中数学的一条函数问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/15 12:10:29
定义在(0，+∞)上的函数f(x)，对于任意的m，n∈(0，+∞)，都有f(mn)=f(m)+f(n)成立，且当x>1时，f(x)<0。
1)求证：1是函数的零点
2)求证：f(x)在(0，+∞)上是减函数
麻烦解释一下

证明:(1)令m=n=1,得f(1)=f(1)+f(1)
∴f(1)=0
(2)令m>n>0,原式移项得f(m)=f(mn)-f(n)
现在你可以使用换元法,将m换为m/n,
上式化为f(m/n)=f(m)-f(n)
由m>n>0得m/n>1
由已知可得f(m/n)<0
∴f(m)-f(n)<0 即f(m)<f(n)
结合m>n 可知f(x)在(0，+∞)上是减函数
得证.

补充：这个函数你可以参照y=logax(a为指数)，而证明单调性主要是用定义。

1.令m=1
则 f(mn)=f(m)+f(n) 此时为f(n)=f(1)+f(n)
f(n)抵消后得到F(1)=0
也可以令N=1，结果是相同的

第2问实在证明不了抱歉。。。。