直角三角形ABC:角C=90°,N点在AC上,M点在BC上,且AN=MC,BM=AC,连接BN与AM交P点。试求:角BPM=45°?

来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/05/26 14:23:42

证法一(初中知识证法):
证:已知在△ABC中,∠C=90°,点M在BC上,且BM=AC,点N在AC上,且AN=MC,AM与BN相交于点P。
设AC=BM=X,MC=AN=Y,则
BC=BM+MC=X+Y,CN=AC-AN=X-Y
AM=√(AC^2+MC^2)=√(X^2+Y^2)

过N点作NE⊥AM,交AM于E点,则△AEN∽△ACB
AE/AN=AC/AM,NE/AN=MC/AM
AE=AN*AC/AM=Y*X/√(X^2+Y^2)
NE=AN*MC/AM=Y^2/√(X^2+Y^2)

过P点作PF⊥BC,交BC于F点,则△PFM∽△ACM,△BPF∽△BNC
PF/FM=AC/MC,PF=FM*AC/MC=FM*X/Y
PF/BF=CN/BC,PF=BF*CN/BC=BF*(X-Y)/(X+Y)

BF*(X-Y)/(X+Y)=FM*X/Y
BF=(FM*X/Y)*[(X+Y)/(X-Y)]=FM*X*(X+Y)/[Y*(X-Y)]
BF=BM+FM=X+FM
FM*X*(X+Y)/[Y*(X-Y)]=X+FM
FM=XY*(X-Y)/(X^2+Y^2)

PM/FM=AM/CM
PM=FM*AM/MC=[XY*(X-Y)/(X^2+Y^2)]*[√(X^2+Y^2)/Y]
=X*(X-Y)/√(X^2+Y^2)

PE=AM-AE-PM
=√(X^2+Y^2)-Y*X/√(X^2+Y^2)-X*(X-Y)/√(X^2+Y^2)
=Y^2/√(X^2+Y^2)
=NE
因为NE⊥AM,即NE⊥PE
可知在直角△NEP中,NE=PE
故 ∠EPN=45°
但∠BPM=∠EPN
所以∠BPM=45°

证法二:
证:已知在△ABC中,∠C=90°,点M在BC上,且BM=AC,点N在AC上,且AN=MC,AM与BN相交于点P。