⊿ABC为等腰直角三角形,∠C=90度,D为BC延长线上的一点,CD=CE,E点在AC上,BE的延长线交AD于F.求证BF垂直于AD

连接DE并延长，与AB相交于G。
由于⊿ABC为等腰直角三角形,∠C=90度
所以∠CAB=45度。
又因为⊿ABC为等腰直角三角形，所以∠ACD=90度，加上CD=CE,所以∠CDE=45度。
所以∠CAB=∠CDE
又因为对顶角∠AEG与∠DEC相等,
所以⊿AEG与⊿DEC相似。
∠AGE=∠DCE=90度
DG垂直于AB，即DE垂直于AB
又因为AC垂直于DB,即AE垂直于DB
所以E为⊿ ADB的垂心，
所以BE垂直于AD
即BF垂直于AD

连ED，易知角BDE=45度，角DBA=45度，从而DE垂直于BA，又因为AE垂直于BD，所以E为ABD的垂心，所以BF垂直于AD
关键是证垂心

楼下的解答也符合初中几何内容

因为在⊿bce与⊿acd中，

bc=ac ，∠bce=∠acd，CD=CE，所以两个三角形全等

所以，角cbe才等于角cad，而且，角BEC等于角AEF，所以
在三角形bce与三角形aef中，角afe等于角bce，所以
BF垂直于AD