数学高考难题请教老师4

因为要使1／（a－b）＋1／（b－c）≥n／（a－c）恒成立,就要
1／（a－b）＋1／（b－c）-n／（a－c）≥0
因为a＞b＞c,所以a-b＞0,b-c＞0,a-c＞0,所以上述不等式两边同时乘以（a－b）（b－c）（a－c）,不等式符号不变.进行化简得
(a-c)(a-c)-n(a-b)(b-c)≥0
(a-b)(a-b)+(b-c)(b-c)≥(n-2)(a-b)(b-c)........1
而a-b＞0,b-c＞0
所以(a-b)(a-b)+(b-c)(b-c)≥2(a-b)(b-c)恒成立
所以要使1 不等式恒成立,只要2≥n-2即可
所以n≤4

设a－b＝x>0,b－c=y>0则a－c=x+y>0
那么1／（a－b）＋1／（b－c）≥n／（a－c）恒成立
也就是要求n小于等于(x+y)/x + (x+y)/y 的最小值
而 2 + y/x + x/y ≥2＋2根号(y/x * x/y) = 4
所以 n = 4

换元法

设a-b=x
b-c=y
则a-c=x+y

原来的式子就化为1/x+1/y>n/x+y

把x+y乘过左边 就得 2+x/y + y/x >n

用均值不等式 求得n最小就是4啦

我想我这个比较易懂：方程两边同乘(a-b)(b-c)(a-c)得：(a-c)^2>=n(a-b)(b-c)，可设a-c=k 因为a>b>c所以可设(a-b)(b-c)=x*(k-x)
则原式为n<=k^2 /x*(k-x) 可求得x=k/2时，分母有最大值k^2 / 4
所以n<=4