已知f(x),g(x)在R上是增函数,求证f[g(x)]在R上也是增函数

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/03 10:42:02

取x1,x2 ,x1>x2
f[g(x1)]-f[g(x2)]
x1>x2
(g(x1)=m)>(g(x2)=n因为g(x)在R上是增函数,
m>n
f(m)>f(n)因为f(x)在R上是增函数
f[g(x1)]=f(m)
f[g(x2)]=f(n)
f(m)>f(n)
->f[g(x1)]>f[g(x2)]
所以f[g(x)]在R上也是增函数

设x1<x2
因为g(x)为增函数,所以g(x1)<g(x2)
设X1=g(x1),X2=g(x2),X1<X2
因为f(x)为增函数，所以f(X1)<f(X2)
所以f(g(x1))<f(g(x2))
所以f(g(x)在R上为增函数

证明，

在定义域内取x1，x2，且x1<x2,

令y=g（x），
则y1=g(x1),y2=g(x2),且y1<y2,
(因为g（x）为增函数)

由于，y1<y2,f（y）为增函数，即f(y1)<f(y2),

亦即
在定义域中，当x1<x2,必有f[g(x1)]<f[g(x2)]
命题得证

解：设实数[x1,g(x1)][x2,g(x2)]是g(x)上的点。且x1<x2;
因为g(x)是定义域内的增函数
则g(x1)>g(x2)

因为f(x)是定义域内的增函数
则f[g(x1)]>f[g(x2)]
所以：f[g(x)]在R上也是增函数