“除平凡子群外无其他子群的群是素数阶循环群”怎样证明？

沙发
证明：设群G无非平凡子群，a是G中的非单位元，则H=(a)是G的子群且H≠{e},所以G=H=(a),所以G是循环群。
如果G是无限群，因为G≌Z，但Z有无穷多个非平凡子群nZ，矛盾，G必是有限群。
不妨设G为n阶群，则G≌ Zn，考虑Zn中任一循环子群(a),a∈Zn且非单位元，因为Zn无非平凡子群，所以Zn=(a),故a和n互素，即(a,n)=1这对一切1<a<n成立，显然n是素数。证毕。
显然，群G无非平凡子群是G是素数阶循环群成立的充分必要条件。