已知a,b是互质的正整数,且a+b,3a,a+4b恰为一个直角三角形的三条边长,则a+b的值等于

因a+b小于a+4b,所以,a+b不可能是斜边.以a+4b和3a分别为斜边进行讨论.若3a为斜边,则有(a+4b)^2+(a+b)^2=(3a)^2,化简再因式分解有(a+b)*(17b-7a)=0,因a+b不等于0,所以17b-7a=0,a=17,b=7,a+b=24
若a+4b为斜边,则有(3a)^2+(a+b)^2=(a+4b)^2,a=3,b=5,a+b=8

分析：a、b均为正数，则a+4b＞a+b，所以只有a+4b和3a有可能成为斜边，分类讨论（1）a+4b为斜边；（2）3a为斜边．
解答：解：在直角三角形中，（1）若a+4b为斜边，则（a+4b）2=（a+b）2+9a2
∴9a2-6ab-15b2=0，（a+b）（3a-5b）=0
∵a+b≠0，且a，b互质，
∴a=5，b=3．
三条边长分别为8，15，17，a+b=8．
（2）若3a为斜边，则9a2=（a+b）2+（a+4b）2，
∴7a2-10ab-17b2=0，
∴（a+b）（7a-17b）=0
．∵a+b≠0，
∴7a=17b，a，b互质，
∴a=17，b=7．三条边长分别为24，45，51，a+b=24．综上得a+b=8．或a+b=24．
点评：本题考查了分类讨论思想，考查了直角三角形中勾股定理的应用，本题中讨论a+4b是斜边或3a是斜边是解题的关键．

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