调和平均值 (x+y)/2≥根号xy>=2/(1/x+1/y) 是怎么推得的

(x+y)/2-(根号xy) [作差]
={[(根号x)^2+(根号y)^2]-2(根号xy)}/2 [变形]
=[(根号x)+(根号y)]^2/2>=0
所以有(x+y)/2≥根号xy

由(根号xy)-2/(1/x+1/y) [作差]
=(根号xy)-2xy/(x+y) [分母通分]
=(根号xy)[1-2(根号xy)/(x+y)] [提公因式]
利用前面的结论(x+y)/2≥(根号xy)
知2(根号xy)/(x+y)<=1
所以(根号xy)-2/(1/x+1/y)
=(根号xy)-2xy/(x+y)
=(根号xy)[1-2(根号xy)/(x+y)]>=0
所以得证(x+y)/2≥根号xy>=2/(1/x+1/y)

本题考查的是利用作差思想求解.
所以,我都是利用作差来解决这两问的.

解:由(x+y)/2推到根号xy ,是利用(x+y)^2>=0展开移项得x^2+y^2>=2xy,然后把x^2,y^2分别看成一个正数代换得到的.
而在(x+y)/2≥根号xy的左右两边同时乘上2根号xy, 得到(x+y)根号(xy)>=2xy,
后得整理根号(xy)>=2xy/(x+y)=2/(1/x+1/y)

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