请教一题代数数奥题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/09 09:00:15
白纸上写有：1，2，3，……，2007共2007个自然数，现在任意擦去若干个数，然后添上被擦去数之和除以2006的余数，称为一次操作（如：擦去1007，1000，7这三个数后就要添上8）
1、经过若干次操作后，只剩下一个数，求该数；
2、经过若干次操作后，只剩下两个数，一个数是2005，求另一个数。
答案所说，我愚笨不理解。恳请写出思考过程。

先解决简单的问题：
如果只有1，2，3，3个数，你这样操作，剩下一个数是多少，一定是6，因为不管你怎么去，余数都是1，2，3的和，因为6除不了2006。
那如果是2004，2005，2006三个数呢？剩下一个一定是2003，因为这三个数的和除以2006的余数就是2003
所以考虑1-2007，2007个数字他们的和＝1到2005之和加2006＋2007＝（1＋2005）×1002＋1003＋2006＋2007＝2006×1004＋1004
所以余数是1004

第二个问题，就是从2007个数字中去掉2005就可以了，所以是1003

考虑复杂问题的时候如果没有思路，可以从简单的假设开始，给自己思路，然后推广到复杂的

1、即所有的数之和除以2006的余数1004
2、最后的数一定是1004，所以另一个数是
1004+2005-2006=1003