已知四棱锥P-ABCD的侧面是正三角形，E是PC的中点。求证：PA//平面BDE

证明：连接AC，BD，相交于o， 设棱长a。

因为P-ABCD的侧面是正三角形，所以ABCD是正方形。边长为a，
O是中心（对角线互相平分）
E，O分别是PC，AC的中点所以EO是三角形PAC的中位线。
即：PA||OE OE是平面BDE内的一条直线。
根据定理平行于平面的一条直线。就平行于这个平面。
命题得证。

设ABCD对角线AC，BD交点为O，连接E，O
由于侧面都是正三角形，故而有，ABCD是菱形，O是AC的中点
三角形PAC中，E,O分别是PC,AC中点，从而EO//PA
又 EO是平面BED内的直线，PA是平面BDE外的直线
所以必有 PA//平面BDE

因为四棱锥的侧面是正三角形，则PA=PB=PC=PD，而AB=PA，BC=PB，CD=PC，AD=PD，即AB=CD=BC=AD，可证ABCD是菱形，分别连接AC、BD，相较于点F，连接EF，F为AC中点，E为PC中点，在三角形PAC中，EF平行于PA，根据判定定理，PA平行于平面BDE

（1）作AD中点E，连EP，则且

作P在平面ABCD上的投影（在菱形ABCD外没有画出），连

平面

为已知二面角的补角，为

中，

即P到平面ABCD距离为

（2）连BE，

在中，

在中，

，作BP中点F，连AF，作交PC于G

G为CP中点

即为所求的二面角

又

又菱形

中，

中，G为PC中点，可由平行四边形对角线平方和等于四边平方之和得：

又

二面角为