f(x)在（0，a）的区域内单调递增，求是否可得f'(x)>0?

不一定
f(x)在（0，a）的区域内单调递增并不能保证f'(x)的存在
比如
f(x)
=x(0<x<1)
=2x(1≤x<2)
在(0,2)上单调递增，但在x=1时，f'(x)不存在
再举个例子
f(x)=(x-1)^3
在(0,2)上也是单调递增的
但是x=1时，f'(1)=0

如果一个函数在指定的区域内单调递增，那么它的导数就是大于零的
所以你的结论是正确的

不一定，假设f(x)在（0，a）连续且递增，则若0<x0<a，且f″(x0)=0，则此处是拐点，但拐点处f'(x0)=0而不是大于0。