UC知道【平面解析几何问题】如何描述一个点在一个任意形状的四边形内？
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/10 15:09:45
已知第一象限内一个四边形的4个顶点，(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)，(x4,y4)，如何描述任意点（x，y）在这个四边形的内部？
四边形为任意形状的“凸四边形”
推导过程不说了，就是通过判断该点在直线的上方或下方，只说结论，如下：
先不考虑特殊情况，即凸四边形的各边均不与坐标轴平行。
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，D(x4,y4)按逆时针方向排列。则(x,y)在四边形内部的条件为：
当n<4时，[y-y(n+1)][xn-x(n+1)]<[yn-y(n+1)][x-x(n+1)]
当n=4时，(y-y1)(x4-x1)<(y4-y1)(x-x1)
若令点E(x5,y5)=A(x1,y1)，则可归纳为：
[y-y(n+1)][xn-x(n+1)]<[yn-y(n+1)][x-x(n+1)]
再考虑特殊情况，上面条件同样成立。
四边形为任意形状的“凸四边形”
推导过程不说了，就是通过判断该点在直线的上方或下方，只说结论，如下：
先不考虑特殊情况，即凸四边形的各边均不与坐标轴平行。
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，D(x4,y4)按逆时针方向排列。则(x,y)在四边形内部的条件为：
当n<4时，[y-y(n+1)][xn-x(n+1)]<[yn-y(n+1)][x-x(n+1)]
当n=4时，(y-y1)(x4-x1)<(y4-y1)(x-x1)
若令点E(x5,y5)=A(x1,y1)，则可归纳为：
[y-y(n+1)][xn-x(n+1)]<[yn-y(n+1)][x-x(n+1)]
再考虑特殊情况，上面条件同样成立。
我们假设从左到右上面两个点是A(x1,y1),B(x2,y2)下面两个点是C(x4,y4),D(x3,y3)
那么如果X(x,y)在ABCD内, 则X必须满足四个条件:
1.X在AB下面
2.X在BC左面
3.X在CD上面
4.X在AD右面
现在来说下面的情况
X在AB下面:
直线AB:
y1=ax1+b
y2=ax2+b
a(x2-x1)=y2-y1
a=(y2-y1)/(x2-x1)
b=y1-x1(y2-y1)/(x2-x1)
直线AB的方程:y=[(y2-y1)/(x2-x1)]x+y1-x1(y2-y1)/(x2-x1)
现在把X(x,y)代入次方程,如果y<[(y2-y1)/(x2-x1)]x+y1-x1(y2-y1)/(x2-x1),则X在AB下面
再说右面的情况
AD的方程可以有A和D的坐标得到
代入X(x,y), 如果y<ax+b
则X在AD的右面
上面和左面的情况则正好相反
代入X的坐标后,如果y>ax+b
则可以证明X在BC左面和X在CD上面
最后,只有四个条件同时符合时, X才在四边形ABCD内部
首先可以根据给出的顶点坐标，画出四边形，并写出四条边所在的直线方程（形如ax+by+c=0，a>0）；
然后分别把这个任意点的坐标代入四个方程，
如果ax+by+c>0就表示该点在相应直线的右侧，
如果ax+by+c<0就表示该点在相应直线的左侧，
如果ax+by+c＝0就表示该点在相应直线上，
从而判断该点是否在此四边形内部。
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，D(x4,y4)为该四边形的四个顶点，O为任意点，如果:
SΔOAB+SΔOBC+SΔOCD+SΔODA=S四边形ABCD，且SΔOAB，SΔOBC，SΔOCD，SΔODA均大于0，
可以确定O点位于凸，或者凹四边形ABCD的