P为矩形ABCD内任意一点，若PA=3，PB=4，PC=5，则PD长是多少？∠APB是多少度?

老兄，有打错没，是正方形吧，不是矩形，否则答案的值域（取值范围）为（0，90）；；理由如下：任取∠APB为上述值域中某一特殊值，则边pa，pb和角∠APB唯一确定一三角形，也就确定了矩形的边ab，而角∠ABP也确定了，也即∠PBC也确定了（∠ABP+∠PBC=90度=∠ABC),而BC也可由两边一角唯一确定（其实有可能有两个值，不过结合∠BCP是锐角就可删掉多余的一个值）。从上面，我们知道∠APB值不唯一。

若是正方形，则用转移法，在边CD下找点E，使EB=PA=3,EC=PB=4,连接EP；则∠APB=∠CEB,而且三角形EBP为直角三角形，PE=5,此时∠APB=∠CEB=∠BEP+∠PEC
这两个角所在的三角形边都知道了，且均为特殊三角形，下面你就自己算吧，

有什么不懂请留言。

通过P点分别对AB,BC,CD引垂线的。PE,PF,PG
最好你自己根据我的叙述画图。
假设PE长度为x，PE长度为y，则：
x^2+y^2=4^2=16--------------1
PD^2=PG^2+DG^2因为PG=FC,DG=AE,所以：
上式=(5^2-y^2)+(3^2-x^2)=34-（x^2+y^2)(把1代入）=34-16=18
所以PD=18开根号=3倍根号2（由于没有根号符号，所以只能语言叙述，你能明白吧）

楼下的兄弟，矩形是固定的也就是P点是唯一的。不像你说的可以任意取值。因为到A点距离为3，到B点距离为4，是固定的。以A为圆心，3为半径画圆，再以B为圆心，4为半径画圆，交点有两个，矩形里外各一个，里面的交点就是点P.

解：过P作AB的平行线分别交DA、BC于E、F，过P作BC的平行线分别交AB、CD于G、H．
设AG=DH=a，BG=CH=b，AE=BF=c，DE=CF=d，
则

AP2=a2+c2，CP2=b2+d2，BP2=b2+c2，DP2=d2+a2
于是AP2+CP2=BP2+DP2，又PA=3，PB=4，PC=5，
故DP2=AP2+CP2-BP2=32+52-42=18，
则DP=3