江苏省第二十一届初中数学竞赛中的一题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/25 15:17:48
k,a,b为正整数，k被a^2,b^2整除所得的商分别为m,m+116.
(1) 若a,b互质，证明(a^2-b^2)与a^2和b^2都互质；
(2) 当a,b互质时，求k的值；
(3) 若a,b的最大公约数为5,求k的值.

(要详细过程！！！）
一、二、三楼的同志，不会没关系，但别给错的答案！！！
[（2）k=176400 (3)k=4410000 ]我知道正确的结果，但不知是如何来的！！！

(1)反证法
假设(a^2-b^2)与a^2不互质，即有公约数C
设(a^2-b^2)=XC
a^2=YC
则b^2=YC-XC
则b^2也有公约数C
推出b也有公约数C
则ab有共同公约数C 与a,b互质的条件矛盾
假设不成立
（2）(a^2-b^2)=-116K
因为(a^2-b^2)与a^2互质，即mk与-116k互质
所以k=1
（3）设a=5x b=5y
则a^2,b^2分别为25x^2,25y^2
25x^2=km
25y^2=km+116k
所以25(x^2-y^2)=-116k
显然
k=25

我可以负责任的告诉你，你应该检查下题打错没
也许我结果错了，因为我是自己做的，但过程应该也可以给你点启迪
这种题我很难说我不会，确实是不难的
你这样的语气让人很失望，我怎么会故意给你错的答案！
还让别人怎样帮你？

休斯敦的打铁匠已经说完了

休斯敦的打铁匠，你太厉害了

2>:
k=a^2*m=b^2*(m+116)
(a^2-b^2)*m=116*b^2
因为a^2-b^2与b^2互质
所以m=b^2*x
116=(a^2-b^2)*x
解得x=4
m=784
a=15 b=14 k=176400