如何证明：可构成直角三角形

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/23 15:32:12
在△ABC中，∠C＝90°，D是AB的中点，E、F分别在AC和BC上，且DE⊥DF。
试判断以线段EF、AE、BF为边能否构成一个直角三角形，并说明理由。
说明：我已经用AUTOCAD作图法证明可构成直角三角形了。可依然没找到几何学的证明方法。

证明：不妨设角A=x，角ADE=y，容易求得角B=90-x，角BDF=90-y，角AED=180-x-y，角DFB=x+y。
因为AD=BD，根据正弦定理，有
2R1=AD/sin(180-x-y)=AD/sin(x+y)=BD/sin(x+y)=2R2，
即三角形ADE的外接圆和三角型BDF的外接圆是等圆。设直径都为L。
那么，根据正弦定理，在三角形ADE内，DE=Lsinx，AE=Lsiny；
在三角形BDF内，DF=Lcosx，BF=Lcosy。
因此AE^2+BF^2=L^2=DE^2=DF^2=EF^2，
故EF、AE、BF为边可以构成直角三角形，斜边为EF。

如果E、F分别是AC和BC的中点，那很好做。
如果是一般点，那么就用刚才的这个中点的特殊情况作为辅助线，用代数来算就好算了。