已知三整数a.b.c之和为13,且b/a=c/b,求a的最大和最小值,并求相应的b,c的值.

设倍数为X
则C=X^2 *A
B=X*A

13=A+B+C=XA+X^2A+A
13=A(X+X^2+1)
A=13/(x+x^2+1)=13/[(x+1/2)^2+3/4]
A为整数
则可设f(x)=[(x+1/2)^2+3/4]>=3/4
而f(x)满足f(x)=13/n,n为整数.从这里知道n>=1
则必须满足13/n-3/4>=0
n<=17
所以1<=n<=17
13/17<=f(x)<=13
则1<=a<=17
a=1,此时x=3.那么b=3, c=9
当a=17此时f(x)=13/17=x^2+x+1
17x^2+17x+4=0,x有无理数解,不符合要求,
当a=16,16x^2+16x+3=0 (4x+1)(4x+3)=0
x=-1/4 x=-3/4
当x=-1/4,b=-4,c=1
当x=-3/4,b=-12,c=9
所以a的最小值是1,此时b=3, c=9
a的最大值是16,此时b=-4,c=1或b=-12,c=9

ac=b^2=(13-a-c)^2
a^2+c^2+169-26a-26c+ac=0
c^2+(a-26)c+(a^2-26a+169)=0
因为 △≥0
所以 0≤a≤52/3
因为 a是整数
所以 0≤a≤17
a最小为1，此时b=3, c=9
a最大为16，此时b=-4, c=1

设倍数为X
则C=X^2 *A
B=X*A

13=A+B+C=XA+X^2A+A
13=A(X+X^2+1)
解X=3 A=1
则A=1 B=3 C=9